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高三数学上 第一章解三角形1.2余弦定理同步练习题二

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高三数学上 第一章解三角形1.2余弦定理同步练习题二


一、填空题

1.已知△ABC的面积为(a2+b2-c2),其中边a,b,c为角A,B,C所对的边,则C=________.

解析:S=(a2+b2-c2)=abcos C,又S=absin C,所以sinC=cos C,而C∈(0,π),故C=.

答案:

2.在△ABC中,若a2=bc,则角A是________.(填“锐角”、“直角”或“钝角”)

解析:cosA===>0.

答案:锐角

3.在△ABC中,已知A=30°,且3a=b=12,则c=________.

解析:a=4,b=4,cos A==,

解得c=4或c=8.

答案:4或8

4.在△ABC中,已知c=2acosB,则△ABC是________三角形.

解析:由余弦定理及已知条件知=cosB=,

∴a2+c2-b2=c2,即a2=b2,亦即a=b.

答案:等腰

5.在△ABC中,若A=2B,且2a=3b,则sin B=________.

解析:由正弦定理得2sinA=3sin B,又∵A=2B,

∴2sin2B=3sin B,∴cos B=,∴sinB=.

答案:

6.在△ABC中,若a=5,b=3,C=120°,则sinA的值为________.

解析:由余弦定理,求得c=7,再由正弦定理sin A=,可得sin A=.

答案:

7.已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则x的取值范围为________.

解析:若x为最大的边,则4+9-x2>0,解得x2<13;若3为最大的边,则4+x2-9>0,解得x2>5,故

答案:(,)

二、解答题

8.在△ABC中,若(a-c·cos B)·sin B=(b-c·cos A)·sin A,判断△ABC的形状.

解:法一:由正弦定理及余弦定理,知原等式可化为:

·b=·a,

整理,得(a2-b2)(a2+b2+c2)=0.

∴a2+b2-c2=0或a2=b2,

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

法二:由正弦定理,原等式可化为

(sin A-sinCcos B)·sin B=(sinB-sin C·cos A)·sin A,

∴sinBcos B=sin AcosA,∴sin 2B=sin 2A,

∴2B=2A或2B+2A=π.

即A=B或A+B=.

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

9.在△ABC中,A,B,C所对的边长分别为a,b,c.设a,b,c满足b2+c2-bc=a2和=+,求A和tan B的值.

解:由余弦定理,得cos A==,

∴A=60°.

在△ABC中,C=180°-A-B=120°-B,

由正弦定理得+===

=+,∴tanB=.

[高考水平训练]

一、填空题

1.在△ABC中,若a=,b=4,A=30°,则满足条件的三角形有________个.

解析:

如图,bsin A=4×=2

答案:2

2.在△ABC中,若A=60°,b=1,S△ABC=,则的值为________.

解析:S=bcsin A=×1×c×=,解出c=4.

a2=b2+c2-2bccos A=13,

==.

答案:

二、解答题

3.在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,已知sin A=.

(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值.

(2)若a=,求△ABC面积的最大值.

解:(1)由sinA=两边平方得:

2sin2 A=3cosA,

即2cos2 A+3cosA-2=0,

解得cos A=或-2(舍),

∵a2-c2=b2-mbc,

∴=,由余弦定理的推论得

cos A=,

∴=,∴m=1,

(2)∵cosA=,∴sinA=,

S△ABC=bcsin A=bc.

又∵a2=b2+c2-bc,

∴3=b2+c2-bc=(b-c)2+bc≥bc,

∴S△ABC=bc≤,

故△ABC面积的最大值为.

4.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tan BtanC-(tan B+tan C)=1.

(1)求角A的大小;

(2)现给出三个条件:

①a=1;

②b=2sin B;

③2c-(+1)b=0.

试从中选择两个条件求△ABC的面积.

解:(1)由tanBtan C-(tanB+tan C)=1,

得=-.

所以tan(B+C)=-.

则tan A=-tan(B+C)=,所以A=.

(2)方案一:选择①③.

∵A=30°,a=1,2c-(+1)b=0,

所以c=b,则根据余弦定理,

得12=b2+(b)2-2b·b·,

解得b=,则c=.

∴S△ABC=bcsin A

=×××=.

方案二:选择②③.可转化为选择①③解决,类似也可.

(注:选择①②不能确定三角形)



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